🧪 4-5% מהמבחן · קלאסיקה של רמות 650-750
GMAT Mixture Problems — בעיות ערבוב
בעיות ערבוב נתפסות כקשות, אבל בפועל מדובר ביישום ישיר של ממוצע משוקלל. אם תפנים שני עקרונות — "הריכוז הוא ממוצע משוקלל לפי נפח" ו"רכיב משתמר חוזר על עצמו במשוואה" — תפתור גם את השאלות הקשות ב-90 שניות.
למה Mixture Problems חשובות ב-GMAT
במבחן ה-GMAT Focus Edition מופיעות 1-2 שאלות mixture בסימולציה. הן יכולות להופיע ברמות 600 (ערבוב פשוט של שני נפחים) ועד 750 (החלפת חלק מהתמיסה ב-X, ערבוב 3 חומרים, או מציאת היחס הדרוש).
הסיבה לחשיבותן: זהו נושא שמשלב מספר מיומנויות בו-זמנית — אחוזים, ממוצע משוקלל, יחסים, ולעיתים גם חישוב מהיר של שברים. תלמיד טוב במיומנויות בודדות יכול לקרוס בשאלת mixture אם הוא לא בונה מסגרת מסודרת.
- נשענות על אחוזים — ריכוז מבוטא כמעט תמיד באחוזים.
- נשענות על ממוצע משוקלל — וזהו נושא בפני עצמו בסטטיסטיקה.
- קשורות ל-Number Properties — שאלות "במה היחס" דורשות מציאת שלמים תואמים.
תובנה אסטרטגית: בשאלת mixture, השאלה הראשונה שתשאל את עצמך היא: "מה משתנה ומה לא?" אם מוסיפים מים — החומר הפעיל משתמר. אם מחליפים נפח — המסגרת הכוללת קבועה.
הנוסחאות שאתה חייב לדעת בעל פה
1. מטריצת הערבוב — נוסחת היסוד
V₁·C₁ + V₂·C₂ = (V₁+V₂)·C_mix
הצד השמאלי = סך החומר הטהור משתי תמיסות. הצד הימני = סך החומר בתערובת. שוויון מובטח.
2. ריכוז סופי
C_mix = (V₁·C₁ + V₂·C₂) / (V₁+V₂)
ממוצע משוקלל. הריכוז הסופי תמיד בין שני הריכוזים. אם יצא מחוץ לטווח — יש שגיאה.
3. הוספת מים (ריכוז 0%)
V₁·C₁ = (V₁+W)·C_new
מים תורמים נפח אבל לא חומר טהור. החומר הטהור משמאל לא משתנה אחרי ההוספה.
4. הוספת חומר טהור (ריכוז 100%)
V₁·C₁ + P = (V₁+P)·C_new
P מ"ל של חומר טהור תורמים P מ"ל למסה הטהורה וגם לנפח. שני האגפים גדלים.
5. החלפת חלק מהתמיסה
C_new = C_old · (1 − R/V)
אם מסירים R מ"ל ממיכל V מ"ל ומחליפים במים, הריכוז יורד ביחס (1−R/V). חוזרים על התהליך n פעמים → ביחס (1−R/V)n.
6. מגלה היחס (Alligation)
V₁ / V₂ = (C₂ − C_mix) / (C_mix − C₁)
המרחק מהריכוז הסופי לכל ריכוז התחלתי קובע את היחס ההפוך של הנפחים. שיטה גרפית מהירה מאוד.
טיפ זיכרון: תמיד בנה טבלה: שורה לכל תמיסה, עמודות נפח / ריכוז / כמות חומר טהור. הטבלה חוסכת לפחות 50% מהשגיאות.
3 דוגמאות פתורות — מהקל אל הקשה
דוגמה 1 · קלה · ערבוב שתי תמיסות
A barista mixes 300 mL of a coffee blend that is 80% Arabica with 200 mL of a different blend that is 30% Arabica. What is the Arabica percentage of the resulting blend?
פתרון:
- חומר טהור (אראביקה) בתמיסה 1: 0.80 × 300 = 240 מ"ל.
- חומר טהור בתמיסה 2: 0.30 × 200 = 60 מ"ל.
- סך חומר טהור = 300 מ"ל. סך נפח = 500 מ"ל.
- C_mix = 300 / 500 = 60%.
תשובה: 60%. בדיקה: 60% הוא בין 30% ל-80%, וקרוב יותר ל-80 כי יש יותר מהבלנד החזק. תקין.
דוגמה 2 · בינונית · הוספת חומר טהור
A battery cell contains 50 grams of electrolyte that is 4% lithium. How many grams of pure lithium must be added so that the electrolyte becomes 20% lithium?
פתרון:
- ליתיום בהתחלה: 0.04 × 50 = 2 גרם.
- נסמן את כמות הליתיום הטהור שמוסיפים x. אחרי ההוספה: ליתיום = 2 + x, נפח = 50 + x.
- משוואת ריכוז: (2 + x) / (50 + x) = 0.20.
- 2 + x = 0.20·(50 + x) → 2 + x = 10 + 0.2x → 0.8x = 8 → x = 10 גרם.
תשובה: 10 גרם של ליתיום טהור. אזהרה: רבים שוכחים ש-x מופיע גם במונה וגם במכנה כי החומר הטהור מוסיף גם לנפח הכולל. אם תיכתוב 2 + x = 0.20·50 — שגית.
דוגמה 3 · קשה · החלפת חלק מהתמיסה
A 600 mL container is filled with a paint mixture that is 25% red pigment. A painter wants to shift the shade by removing 150 mL of the mixture and replacing it with 150 mL of a different paint that is 75% red pigment. What is the new red pigment percentage?
פתרון:
- פיגמנט אדום במצב התחלתי: 0.25 × 600 = 150 מ"ל.
- אחרי הסרת 150 מ"ל מהתערובת (25% פיגמנט): הוסרו 0.25 × 150 = 37.5 מ"ל פיגמנט. נשארו 150 − 37.5 = 112.5 מ"ל פיגמנט בנפח 450 מ"ל.
- הוספת 150 מ"ל של תמיסה 75%: הוספו 0.75 × 150 = 112.5 מ"ל פיגמנט.
- סך פיגמנט = 112.5 + 112.5 = 225 מ"ל. נפח = 450 + 150 = 600 מ"ל (חזרנו לנפח המקורי).
- C_new = 225 / 600 = 37.5%.
תשובה: 37.5%. תובנה: כשמחליפים נפח שווה, הריכוז הסופי הוא ממוצע משוקלל של הריכוז הישן והנוסף לפי היחס בין הנפח שנשאר לבין הנפח שהוחלף. כאן: (450·25 + 150·75)/600 = 37.5%.
5 מלכודות נפוצות שיוצרות 70% מהטעויות
- החלת יחס ישירות על ריכוזים. "אם מערבבים יחס 1:2 של 30% ו-60%, הריכוז הסופי הוא (30+2·60)/3 = 50% — לא 45%". התלמיד "ממוצע" 30 ו-60 ומקבל 45. שגוי. הריכוז הוא ממוצע משוקלל לפי נפח, וכאן יש כפליים מהריכוז הגבוה.
- שכחה שהמרכיב הטהור מוסיף לנפח. בהוספת חומר טהור (ליתיום, מלח, חומצה), הוא תורם גם לנפח. תלמידים שכותבים את הנוסחה בלי + x במכנה מקבלים ריכוז גבוה מ-100% או תוצאה לא הגיונית.
- בלבול בין "כמות חומר" ל"ריכוז". אם מתמיסה של 20% מסירים 100 מ"ל, מסירים 20 מ"ל של החומר הטהור — לא 100. תלמידים מערבבים בין הנפח הכולל לבין הנפח של הרכיב הפעיל.
- הזנחת רכיב משתמר. אם מוסיפים מים — כמות החומצה לא משתנה. הצב את כמות החומצה משתי הצדדים: הצד הימני מבוטא כריכוז חדש × נפח חדש. תלמידים מנסים לחשב מחדש "כמה חומצה אחרי" ושוכחים שזה אותו מספר.
- טווח ריכוז סופי בלתי הגיוני. ריכוז סופי חייב להיות בין שני הריכוזים ההתחלתיים. אם קיבלת 90% מערבוב של 20% ו-50% — יש שגיאה. השתמש בעיקרון הזה כבדיקת שפיות.
טבלת אסטרטגיות — איזו שיטה לבחור
| סוג השאלה | אסטרטגיה מועדפת | טיפ זריז |
|---|---|---|
| ערבוב 2 תמיסות → מצא ריכוז | מטריצה (V·C) | חבר חומר טהור, חלק בסך נפח |
| ערבוב 2 תמיסות → מצא יחס נפחים | Alligation | שיטת המרחקים — מהירה מאוד |
| הוספת מים → מצא נפח מים | שמירת חומר טהור | החומצה לא משתנה; משוואה אחת |
| הוספת חומר טהור | מטריצה עם x גם במונה וגם במכנה | אל תשכח שזה תורם לנפח |
| החלפת חלק מהתמיסה | נוסחת (1−R/V)n | נכון רק אם החלפה במים |
| החלפה בתמיסה אחרת | שני שלבים: הסר + הוסף | חשב פיגמנט בנפרד לכל שלב |
| 3 תמיסות יחד | מטריצה מורחבת | אותו עיקרון, שלוש שורות |
| "כמה מתמיסה X לקבל ריכוז Y" | x במשתנה, משוואה אחת | שמור על יחידות עקביות |
טיפ שיטת Alligation: צייר קו, שים את שני הריכוזים בקצוות וה-mix באמצע. ההפרשים הצולבים נותנים את היחס ההפוך של הנפחים. בדוגמה: 30% ו-60%, mix = 50% → 60−50 = 10 ו-50−30 = 20 → יחס נפחים 10:20 = 1:2.
תרגיל 2-דקות — חימום מנטלי
- 200 מ"ל של 40% חומצה + 300 מ"ל של 20% חומצה. מה הריכוז הסופי?
- בכמה מ"ל מים יש לדלל 500 מ"ל של 25% כדי להגיע ל-10%?
- יחס 3:1 של 80% ו-40%. מה הריכוז הסופי?
- תמיסה של 30% במיכל 200 מ"ל. מוסיפים 50 מ"ל חומר טהור. מה הריכוז?
- 40% של 600 מ"ל — מוציאים 200 מ"ל ומחליפים במים. מה הריכוז החדש?
לחץ לתשובות
תשובות: (1) (200·40 + 300·20)/500 = (8000+6000)/500 = 28%. (2) חומצה = 125 מ"ל. (125)/(500+x) = 0.10 → x = 750 מ"ל. (3) (3·80 + 1·40)/4 = 280/4 = 70%. (4) (200·0.3 + 50·1)/(250) = (60+50)/250 = 44%. (5) 40% × (1 − 200/600) = 40% × 2/3 = 26.67%.
צעד הבא — תרגול תחת לחץ זמן
הנוסחאות בידך. הסימולציה החינמית של psychome.co.il מציעה בנק שאלות mixture בקצב 1:50 לשאלה — כולל וריאציות החלפה, הוספת מים, וערבוב שלוש תמיסות.
מדריכים קשורים
הבהרה: psychome.co.il אינו מסונף ל-GMAC (Graduate Management Admission Council), הגוף המנהל את מבחן ה-GMAT. כל השאלות והדוגמאות באתר נכתבו במקור על ידי הצוות שלנו ואינן נגזרות מ-Official Guide, Manhattan Prep, Magoosh, או כל מקור צד ג'.