📊 7% מהמבחן · 100% הכרחי
GMAT Percentages — מדריך פתרון אחוזים מלא
אחוזים הם הנושא הראשון בכל ספר הכנה ל-GMAT, ולא במקרה: כל סימולציה כוללת לפחות 2-3 שאלות אחוזים ישירות, ועוד 3-4 שאלות שבהן אחוזים מסתתרים בתוך בעיית ערבוב, יחס או רווח. הנושא הזה הוא נקודת הזינוק.
למה אחוזים = הנושא #1 בכמותי?
במבחן ה-GMAT Focus Edition יש 21 שאלות Problem Solving ב-45 דקות. הנתונים שאסף GMAC משנים אחרונות מראים שכ-7% מסך השאלות בכמותי הן שאלות percentages ישירות — אבל המספר האמיתי הרבה יותר גדול כי אחוזים מסתננים לכל הנושאים האחרים:
- בעיות רווח והפסד — נשענות 100% על נוסחת percent change.
- בעיות ערבוב — ריכוז של תמיסה מבוטא תמיד באחוזים.
- בעיות פיננסיות — ריבית פשוטה ודריבית, הנחות, מע"מ.
- שאלות יחס — לרוב מתורגמות לאחוז ולחזרה ("יותר ב-25%" = פי 1.25).
- סטטיסטיקה — אחוזונים, שינויים יחסיים בממוצע.
במילים אחרות: השליטה באחוזים מחזירה רווחים בלא פחות מ-30-35% מהשאלות הכמותיות. ולמרות שזה נושא ש"כולם" יודעים, זה גם הנושא שבו GMAC מטמין הכי הרבה מלכודות — בדיוק כי תלמידים מרגישים בנוח ולא קוראים את השאלה בזהירות מספקת.
יתרון לישראלים שלמדו פסיכומטרי: אחוזים מופיעים גם בפסיכומטרי, אבל ב-GMAT הניסוחים באנגלית יותר עמומים בכוונה. אל תתבלבל מהשפה — המתמטיקה זהה.
6 נוסחאות שאתה חייב לדעת בעל פה
אם לא תזכור אותן בעל פה, תבזבז 30 שניות יקרות על "להמציא את הגלגל" בכל שאלה. שננו אותן עד שתחלום עליהן.
1. Percent Change
% Δ = (New − Old) / Old × 100
תמיד מחלקים בערך הישן, לא בערך החדש ולא בממוצע ביניהם.
2. Successive Percent Change
Final = Initial × (1 ± a/100) × (1 ± b/100)
לעולם אין לחבר אחוזים רצופים. תמיד מכפילים.
3. Percent of Percent
X% of Y% of Z = (X × Y × Z) / 10,000
"30% מ-40% מ-200" = 0.30 × 0.40 × 200 = 24. הסדר לא משנה.
4. Increase by X% ≡ Multiply by (1+X/100)
+25% → ×1.25 | −25% → ×0.75
המרה זו חוסכת שלב שלם. אסור לשכוח להחסיר מ-1 כשמדובר בירידה.
5. Reverse Percent
Original = Final / (1 ± X/100)
אם מחיר אחרי הנחה של 20% הוא 80, המחיר המקורי אינו 100 (כי 80/0.80 = 100 כן — אבל בהנחות אחרות זה מתעתע). תמיד חלק, אל תוסיף בחזרה את אותו אחוז.
6. Mixture by Concentration
C_final = (V₁·C₁ + V₂·C₂) / (V₁+V₂)
ממוצע משוקלל של ריכוזים. אם מערבבים 200 מ"ל של 30% עם 300 מ"ל של 50%, הריכוז = (200·30 + 300·50)/500 = 42%.
טיפ זיכרון: הצב תמיד 100 כבסיס אם הבסיס לא נתון. זה הופך כל אחוז לעשרוני פשוט וחוסך כפלים מסובכים.
3 דוגמאות פתורות — מהקל אל הקשה
דוגמה 1 · קלה · Percent Change
A laptop was purchased for $720. After two years its value dropped to $432. By what percent did the value decrease?
פתרון:
- השינוי המוחלט: 720 − 432 = 288 דולר.
- הבסיס הוא הערך הישן — 720.
- % השינוי = 288 / 720 × 100 = 40%.
תשובה: ירידה של 40%. טעות נפוצה: לחלק ב-432 ולקבל 66.7% — אבל זה היה עונה על השאלה ההפוכה ("בכמה אחוז 720 גדול מ-432").
דוגמה 2 · בינונית · Successive Change
The price of a textbook increased by 15% in 2023 and then decreased by 20% in 2024. If the price at the end of 2024 was $69, what was the original price at the start of 2023?
פתרון:
- מקדם רצף השינויים: 1.15 × 0.80 = 0.92. כלומר המחיר הסופי הוא 92% מהמקורי.
- 69 = 0.92 × Original.
- Original = 69 / 0.92 = 75 דולר.
תשובה: 75 דולר. שים לב: שינוי כולל של 8% ירידה — לא 5% (כפי שהיה אם היינו חוברים +15 ו-−20). מלכודת הרצף שוב.
דוגמה 3 · קשה · Mixture + Reverse Percent
A chemist has 400 mL of a solution that is 25% acid. How many mL of pure water must be added so that the resulting solution is exactly 16% acid?
פתרון:
- כמות החומצה במצב המקורי: 0.25 × 400 = 100 מ"ל. כמות החומצה לא משתנה כשמוסיפים מים בלבד.
- נסמן את כמות המים שמוסיפים x. הנפח הסופי הוא 400 + x מ"ל.
- נכתוב משוואה לריכוז: 100 / (400 + x) = 0.16.
- 100 = 0.16 · (400 + x) → 100 = 64 + 0.16x → 36 = 0.16x → x = 225 מ"ל.
תשובה: 225 מ"ל של מים. תובנת זהב: בשאלות ערבוב — קבע את הכמות המוחלטת של הרכיב שלא משתנה, ואז כתוב משוואה לריכוז הסופי.
5 מלכודות נפוצות שיוצרות 70% מהטעויות
- +25% ואז −25% אינו 0. זוהי המלכודת המפורסמת ביותר. אם מחיר עלה ב-25% ואז ירד ב-25%, הוא לא חזר למקור — הוא ירד ב-6.25%. הסיבה: 1.25 × 0.75 = 0.9375. הנוסחה הכללית: שינוי נטו של +X% ואז −X% שווה ל-−X²/100 אחוזים.
- "אחוז נקודות" אינו "אחוז". אם אחוז האבטלה ירד מ-8% ל-6%, זוהי ירידה של 2 נקודות אחוז אבל ירידה של 25% מהערך. GMAT חוזר על המלכודת הזו בשאלות סטטיסטיקה.
- הבסיס משתנה בסיבוב השני. "20% הנחה ועוד 10% הנחה למחזיקי כרטיס" אינו 30% הנחה. הבסיס של ה-10% הוא המחיר אחרי 20%. הנחה כוללת: 1 − 0.80·0.90 = 28%.
- Reverse percent ≠ סימן הפוך. אם משכורת עלתה ב-20% והגיעה ל-12,000 ש"ח, המשכורת הקודמת אינה 12,000 − 20% = 9,600. היא 12,000 / 1.20 = 10,000. הירידה הנדרשת מהמשכורת הנוכחית כדי לחזור היא 16.67% — לא 20%.
- אחוז ממה? "ההכנסה של חברה A היא 40% גדולה יותר מזו של חברה B" — היחס A:B הוא 1.4:1, לא 1.4:0.6. וההכנסה של B היא 28.6% פחות מזו של A (לא 40%). תמיד שאל: "אחוז ממה?" וסמן את הבסיס.
טבלת המרות מהירות — שברים ↔ אחוזים
שאלות GMAT רבות "נפתרות בראש" אם אתה מזהה ש-37.5% הם בעצם 3/8. שנן את הטבלה הזו:
| שבר | אחוז | עשרוני | הערה |
|---|---|---|---|
| 1/2 | 50% | 0.5 | בסיסי |
| 1/3 | 33.33...% | 0.333 | מחזורי |
| 2/3 | 66.67% | 0.667 | מחזורי |
| 1/4 | 25% | 0.25 | — |
| 3/4 | 75% | 0.75 | — |
| 1/5 | 20% | 0.2 | — |
| 2/5 | 40% | 0.4 | — |
| 3/5 | 60% | 0.6 | — |
| 4/5 | 80% | 0.8 | — |
| 1/6 | 16.67% | 0.167 | מחזורי |
| 5/6 | 83.33% | 0.833 | מחזורי |
| 1/7 | 14.29% | 0.143 | מחזור 6 ספרות |
| 1/8 | 12.5% | 0.125 | חשוב לזכור! |
| 3/8 | 37.5% | 0.375 | — |
| 5/8 | 62.5% | 0.625 | — |
| 7/8 | 87.5% | 0.875 | — |
| 1/9 | 11.11...% | 0.111 | מחזורי |
| 1/10 | 10% | 0.1 | — |
| 1/11 | 9.09% | 0.0909 | — |
| 1/12 | 8.33% | 0.0833 | מחזורי |
| 1/16 | 6.25% | 0.0625 | נפוץ ב-DS |
| 1/20 | 5% | 0.05 | — |
| 1/25 | 4% | 0.04 | — |
תרגיל הזיכרון: ביום הראשון לתרגול, רשום את הטבלה על דף חלק 3 פעמים מהזיכרון. בסוף השבוע — אתה תזהה את ההמרות בלי לחשוב.
תרגיל 2-דקות — חימום מנטלי
השב על 5 השאלות הבאות בלי מחשבון ובלי דף. תזמן את עצמך — מקסימום 24 שניות לשאלה.
- מהו 35% מ-160?
- מחיר עלה מ-80 ל-100. בכמה אחוז עלה?
- הנחה של 12.5% על מחיר 240 — מה המחיר אחרי הנחה?
- +20% ואז −20% על 500. כמה התקבל?
- אם 18 הם 24% ממספר X, מהו X?
לחץ לתשובות
תשובות: (1) 35% מ-160 = 56. (2) 20/80 = 25%. (3) 240 × 7/8 = 210 (כי 12.5% = 1/8). (4) 500 × 1.2 × 0.8 = 480 (ירידה של 4%). (5) 18 / 0.24 = 75.
צעד הבא — תרגול תחת לחץ זמן
הנוסחאות בידך, אבל GMAT הוא מבחן של זמן. הסימולציה החינמית של psychome.co.il כוללת בנק שאלות אחוזים בקצב 1:50 לשאלה — בדיוק בלוח הזמנים של המבחן האמיתי.
מדריכים קשורים
הבהרה: psychome.co.il אינו מסונף ל-GMAC (Graduate Management Admission Council), הגוף המנהל את מבחן ה-GMAT. כל השאלות והדוגמאות באתר נכתבו במקור על ידי הצוות שלנו ואינן נגזרות מ-Official Guide, Manhattan Prep, Magoosh, או כל מקור צד ג'.