🧮 4-6% מהמבחן · השער ל-Quant 49+

GMAT Combinatorics — פרמוטציות וצירופים

קומבינטוריקה היא הנושא שבו רבים נכשלים — לא מחוסר ידע בנוסחאות, אלא מחוסר תפיסה איזו נוסחה להחיל. השאלה הקריטית היא תמיד אותה שאלה: "האם הסדר חשוב?". עם תשובה ברורה לזה — 80% מהשאלות נפתרות תוך 90 שניות.

למה Combinatorics חשובה ב-GMAT

במבחן ה-GMAT Focus Edition מופיעות 1-2 שאלות קומבינטוריקה בסימולציה, וברוב המקרים הן יושבות ברמת קושי 650-750. הן גם בסיס לחישובי הסתברות, ולכן מי ששולט בקומבינטוריקה זוכה גם בנקודות הסתברות.

הסיבה לחשיבותן: נושא זה בודק תפיסה מבנית של בעיות ספירה. תלמיד שקורא "בחר 3 מ-10" וקופץ מיד ל-C(10,3) בלי לבדוק אם הסדר חשוב — נופל לכל מלכודת בדרך.

בסיס ל-Probability — חצי משאלות ההסתברות פותרים באמצעות צירופים במונה ובמכנה.
נושא קל-להוראה — קשה-לטעות — הנוסחאות פשוטות, אבל הבחירה ביניהן דורשת מודלים מנטליים חדים.
נוטה לשאלות "מילים" — תרגום הסיפור למבנה ספירתי הוא 60% מהפתרון.

תובנה אסטרטגית: בכל שאלה — לפני שאתה כותב נוסחה, ענה בקול: "הסדר משנה? כן/לא". אם כן — פרמוטציה. אם לא — צירוף. השאלה הזו תחסוך 40% מהטעויות.

הנוסחאות שאתה חייב לדעת בעל פה

1. פרמוטציה — סדר חשוב

P(n,k) = n! / (n−k)!

מספר הסידורים של k פריטים מתוך n. דוגמה: שלוש מקומות מובחנים, 10 מתמודדים → 10·9·8 = 720.

2. צירוף — סדר לא חשוב

C(n,k) = n! / [k!·(n−k)!]

מספר הקבוצות של k מתוך n. דוגמה: ועדה של 3 מ-10 = C(10,3) = 120.

3. עצרת

n! = n · (n−1) · ... · 1

סידור של n פריטים מובחנים בשורה. 5! = 120. 7! = 5040. 0! = 1 (לפי הגדרה).

4. סידור מעגלי

(n − 1)!

בסידור עגול אין "ראש" — לכן מקבעים פריט אחד וסידור השאר. דוגמה: 6 אנשים סביב שולחן עגול = 5! = 120.

5. פריטים זהים

n! / (p! · q! · ...)

אם יש n פריטים אבל p מהם זהים ו-q מהם זהים — חלק בעצרת של כל קבוצת זהים. דוגמה: סידור אותיות BANANA = 6! / (3!·2!) = 60.

6. בחירה ממספר קבוצות

Total = #A × #B × #C × ...

אם בוחרים אחד מ-A, אחד מ-B, וכן הלאה — מכפילים. שונה מצירוף או פרמוטציה בתוך אותה קבוצה.

טיפ זיכרון: פרמוטציה ≥ צירוף תמיד. אם קיבלת בצירוף תוצאה גדולה מהפרמוטציה המקבילה — יש שגיאה. C(n,k) = P(n,k)/k!.

3 דוגמאות פתורות — מהקל אל הקשה

דוגמה 1 · קלה · צירוף בסיסי

A hackathon organizer needs to choose a team of 3 developers from a pool of 8 backend engineers. How many different teams are possible?

פתרון:

שאלת מפתח: האם הסדר משנה? לא — צוות זה צוות, לא משנה מי "ראשון".
צירוף: C(8,3) = 8! / (3!·5!) = (8·7·6) / (3·2·1) = 336 / 6 = 56.

תשובה: 56 צוותים אפשריים. שים לב לקיצור: בחישוב C(n,k), בטל את (n−k)! מהמונה והמכנה, ונשארת רק k·(k−1)·... במכנה.

דוגמה 2 · בינונית · בחירה מקבוצות + מגבלה

A sushi chef offers 4 types of fish, 3 types of vegetables, and 2 types of sauces. A custom roll uses exactly 1 of each. How many distinct rolls can be created? If a customer insists on tuna fish, how many remain?

פתרון:

חלק א': מכפלת בחירות עצמאיות. 4 × 3 × 2 = 24 גלילים אפשריים.
חלק ב': אם הדג חייב להיות טונה — נשארה רק אפשרות אחת לדג. 1 × 3 × 2 = 6 גלילים.

תשובה: 24 גלילים בסך הכול; 6 עם טונה. כלל בחירה מקבוצות: כל קבוצה תורמת פעם אחת במכפלה. בכל פעם שמופיעה מגבלה ("חייב להיות X"), הגודל של אותה קבוצה יורד ל-1 (או למספר הפריטים שעונים על המגבלה).

דוגמה 3 · קשה · פרמוטציה עם פריטים זהים + מגבלה

A new vehicle registration code consists of 5 characters: 2 letters (chosen from A, B, C with repetition allowed) followed by 3 digits (chosen from 0–9 with no repetition). How many distinct codes are possible if the first letter cannot be A?

פתרון:

אות 1: מותר רק B או C → 2 אפשרויות.
אות 2: כל אחת מ-A, B, C → 3 אפשרויות.
ספרה 1: 10 אפשרויות (0-9). ספרה 2: 9 (ללא חזרה). ספרה 3: 8.
סך הכול: 2 × 3 × 10 × 9 × 8 = 4320 קודים.

תשובה: 4,320 קודים. תובנת מפתח: בשאלות "license plate"-style, חשוב על כל מיקום כקבוצה עצמאית, וזכור את המגבלות (חזרה מותרת? מוגבל?). הסדר חשוב כאן כי המיקום קובע את משמעות התו.

5 מלכודות נפוצות שיוצרות 70% מהטעויות

פרמוטציה במקום צירוף. "בחר 5 שופטים מתוך 20 לוועדת אתיקה" — אין כאן סדר, השופטים סתם חברים בוועדה. תשובה: C(20,5) = 15,504. אם תכפיל ב-5! לקבל פרמוטציה, תקבל 1.86 מיליון — מספר עצום וטעות מובהקת.
ספירת אותה תצורה פעמיים. "בכמה דרכים אפשר לבחור 2 צוותים של 5 מתוך 10 שחקנים?" — תלמידים כותבים C(10,5) × C(5,5) = 252. שגוי! החלפת "צוות A" ו"צוות B" יוצרת ספירה כפולה אם הצוותים אינם מסומנים. חלק ב-2 → 126.
שכחת המגבלה "חייב לכלול X". "צוות של 4 מתוך 12, כאשר מנהיג הצוות נבחר מראש" — בעצם בוחרים 3 נוספים מתוך 11 (כי אחד כבר נקבע). תשובה: C(11,3) = 165, לא C(12,4) = 495.
סידור מעגלי במקום סידור בשורה. 8 אנשים סביב שולחן עגול: 7! = 5040, לא 8!. הסיבה: סיבוב של כל הסידור יוצר את אותה תצורה בעין צופה חיצוני. בסידור על ספסל ארוך — כן 8!.
טעויות "בדיוק k" מול "לפחות k". "כמה דרכים לבחור צוות של 5 הכולל לפחות 2 נשים מתוך 6 נשים ו-8 גברים?" — חייב לסכום: בדיוק 2N3M + בדיוק 3N2M + 4N1M + 5N0M. או להשתמש במשלים: סך הכול − (0 נשים) − (1 אישה). שתי הדרכים אפשריות, אבל חישוב ישיר של C(6,2)·C(8,3) לבדו מספק רק "בדיוק 2".

טבלת ההחלטה — איזו נוסחה לבחור

תרחיש	נוסחה	דוגמה GMAT אופיינית
סידור k מתוך n — הסדר חשוב	P(n,k) = n!/(n−k)!	3 מקומות מובחנים מתוך 10 רצים
בחירת k מתוך n — סדר לא חשוב	C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]	ועדה של 5 מתוך 12
סידור של n פריטים בשורה	n!	סידור 6 ספרים על מדף
סידור מעגלי	(n−1)!	6 אנשים סביב שולחן עגול
פריטים זהים	n!/(p!·q!·...)	סידור אותיות במילה
בחירה מקבוצות שונות (אחד מכל)	#A × #B × #C	חולצה, מכנסיים, נעליים
חזרה מותרת (סידור עם חזרה)	n^k	קוד PIN של 4 ספרות
"לפחות אחד מ-X"	סך − (אף אחד)	ועדה עם לפחות אישה אחת
בחירה משתי קבוצות בו-זמנית	C(a,k₁)·C(b,k₂)	2 גברים ו-3 נשים מצוות מעורב
"שני פריטים חייבים להיות יחד"	קבץ אותם → טפל כיחידה אחת	זוג חברים בשורה

תובנת זהב: סידור מעגלי = שורה חלקי n. סידור עם זהים = שורה חלקי כפילויות. סידור עם חזרה = לא עצרת. אם תכיר את שלושת ההבדלים מהשורה הסטנדרטית, תפתור 90% מהווריאציות.

תרגיל 2-דקות — חימום מנטלי

בכמה דרכים אפשר לסדר 5 ספרים שונים על מדף?
ועדה של 3 מתוך 7 — כמה אפשרויות?
סידור 4 אנשים סביב שולחן עגול — כמה תצורות?
בכמה דרכים אפשר לסדר את האותיות של המילה LEVEL?
מסעדה מציעה 5 מנות ראשונות ו-4 מנות עיקריות. כמה ארוחות (ראשון+עיקרי) שונות?

לחץ לתשובות

תשובות: (1) 5! = 120. (2) C(7,3) = 35. (3) (4−1)! = 6. (4) LEVEL — 5 אותיות, L×2, E×2 → 5!/(2!·2!) = 120/4 = 30. (5) 5 × 4 = 20.

צעד הבא — תרגול תחת לחץ זמן

הנוסחאות בידך. הסימולציה החינמית של psychome.co.il מציעה בנק שאלות קומבינטוריקה בקצב 1:50 לשאלה — כולל וריאציות סידור מעגלי, פריטים זהים, ומגבלות "חייב לכלול".

🎯 התחל סימולציית Quant

מדריכים קשורים

הבהרה: psychome.co.il אינו מסונף ל-GMAC (Graduate Management Admission Council), הגוף המנהל את מבחן ה-GMAT. כל השאלות והדוגמאות באתר נכתבו במקור על ידי הצוות שלנו ואינן נגזרות מ-Official Guide, Manhattan Prep, Magoosh, או כל מקור צד ג'.