⏱ 5-6% מהמבחן · נושא בקפיצה חדה לקושי 700+

GMAT Rate Problems — מהירות, זמן, מרחק

בעיות מהירות הן הנושא שבו פערים בתפיסה קונספטואלית מתבטאים מיד בציון. נוסחת היסוד אחת — D = R × T — אבל הווריאציות (אותו כיוון, כיוון מנוגד, רדיפה, מסע רב-שלבי, סבב הלוך-חזור) הופכות את הנושא למיקוד מועדף של GMAC ברמות הקושי הגבוהות.

למה Rate Problems חשובות ב-GMAT

במבחן ה-GMAT Focus Edition מופיעות כ-1-2 שאלות rate בכל סימולציה, אך הן מתפזרות לרוחב כל סקאלת הקושי. ברמות 600-650 תקבל שאלה ישירה של D=R×T. ברמות 700+ תקבל מסע רב-שלבי עם מהירות ממוצעת, או בעיית רדיפה שבה אתה צריך לחשוב במונחי מהירות יחסית.

הסיבה שזה נושא קריטי: אין כאן חצי-נכון. שגיאת יחידות אחת (קמ"ש מול מטר לשנייה), חיבור במקום חיסור של מהירויות, או ממוצע אריתמטי במקום הרמוני — וכל החישוב מתבטל. לעומת זאת, מי ששולט בנוסחה ובמערכת היחידות פותר את השאלות האלה בפחות מ-90 שניות.

תובנה אסטרטגית: שאלות rate הן שאלות "מילים". ההצלחה תלויה ב-70% תרגום נכון של המצב לטבלת D-R-T, ורק ב-30% חשבון. תמיד ערוך טבלה.

הנוסחאות שאתה חייב לדעת בעל פה

שלוש נוסחאות יסוד, שלוש נוסחאות נגזרות. שננו את כולן עד שתשלוף אותן בלי לחשוב.

1. המשוואה היסודית
D = R × T
מרחק = מהירות × זמן. מכאן: R = D/T, T = D/R. שלוש משוואות, אותו רעיון.
2. מהירות ממוצעת
R_avg = Total Distance / Total Time
לעולם אין לקחת ממוצע אריתמטי של מהירויות אלא אם הזמנים שווים. תמיד מחלקים סך-מרחק בסך-זמן.
3. גופים בכיוונים מנוגדים / פגישה
R_relative = R₁ + R₂
כששני גופים זזים זה לקראת זה (או מתרחקים זה מזה), המהירות שבה המרחק ביניהם משתנה היא סכום המהירויות.
4. גופים באותו כיוון / רדיפה
R_relative = R₁ − R₂
כששני גופים זזים באותו כיוון, המהירות היחסית היא ההפרש. הגוף המהיר סוגר פער בקצב הזה.
5. מסע הלוך-חזור (אותה דרך, שתי מהירויות)
R_avg = 2·R₁·R₂ / (R₁ + R₂)
ממוצע הרמוני. תמיד נמוך מהממוצע האריתמטי. נכון רק כשהמרחקים שווים (לא הזמנים).
6. המרת יחידות
1 km/h = 1000/3600 m/s ≈ 0.278
לכפול ב-5/18 כדי לעבור מקמ"ש למטר לשנייה. לכפול ב-18/5 לכיוון ההפוך.
טיפ זיכרון: שאלה שמערבת זמן בדקות ומרחק בקילומטרים תיתן לך מהירות מוזרה. תמיד המר את הזמן לשעות (או כל יחידה עקבית) לפני שאתה כותב את המשוואה.

3 דוגמאות פתורות — מהקל אל הקשה

דוגמה 1 · קלה · D=R×T בסיסי
A cargo ship sails from Haifa to Limassol, a distance of 420 kilometers, at a constant speed of 28 km/h. How many hours does the journey take?

פתרון:

  1. הנוסחה: T = D / R.
  2. הצב: T = 420 / 28 = 15 שעות.
  3. בדיקת היגיון: 28 קמ"ש כפול 15 שעות = 420 ק"מ. מסתדר.
תשובה: 15 שעות. ברמת קושי 500 — שאלה ישירה. הסכנה היחידה: יחידות. תוודא שמדובר באותה יחידת זמן בשתי הצלעות.
דוגמה 2 · בינונית · גופים מנוגדים + פגישה
A delivery drone leaves a warehouse traveling east at 40 km/h. At the same moment, a van leaves a customer site 270 km east of the warehouse, traveling west at 50 km/h. How long until they meet?

פתרון:

  1. שני הגופים נעים זה לקראת זה. מהירות יחסית = 40 + 50 = 90 קמ"ש.
  2. המרחק ההתחלתי ביניהם: 270 ק"מ. המרחק הזה צריך "להיסגר" בקצב 90 קמ"ש.
  3. T = 270 / 90 = 3 שעות.
תשובה: 3 שעות. לא משנה איפה הם נפגשים — אם השאלה הייתה "באיזה מרחק מהמחסן", היינו מחשבים 40 × 3 = 120 ק"מ מהמחסן.
דוגמה 3 · קשה · מהירות ממוצעת + מסע רב-שלבי
A jogger runs from her home to a park along a path that is 12 km long. She runs the first 8 km at 16 km/h, then slows down for the remaining 4 km to a pace of 8 km/h. What is her average speed for the entire run, in km/h?

פתרון:

  1. שלב 1: זמן ל-8 ק"מ ב-16 קמ"ש = 8/16 = 0.5 שעות.
  2. שלב 2: זמן ל-4 ק"מ ב-8 קמ"ש = 4/8 = 0.5 שעות.
  3. סך מרחק = 12 ק"מ. סך זמן = 1 שעה.
  4. מהירות ממוצעת = 12 / 1 = 12 קמ"ש.
תשובה: 12 קמ"ש. טעות נפוצה: ממוצע אריתמטי של 16 ו-8 = 12. במקרה הזה זה במקרה אותו מספר — כי הזמנים שווים. אבל זה מקרה גבולי. אם המרחקים היו שווים במקום הזמנים, התשובה הייתה 2·16·8/(16+8) = 10.67 קמ"ש.

5 מלכודות נפוצות שיוצרות 70% מהטעויות

  1. ממוצע אריתמטי של מהירויות. אם אדם נסע 60 קמ"ש לכיוון אחד ו-40 קמ"ש בחזרה, מהירותו הממוצעת אינה 50 קמ"ש. כי בכיוון האטי הוא העביר יותר זמן. הנוסחה הנכונה: 2·60·40/(60+40) = 48 קמ"ש. תזכור: ממוצע הרמוני תמיד נמוך יותר.
  2. חיבור מהירויות כשצריך לחסר. רכב משטרה ב-120 קמ"ש רודף אחרי רכב ב-90 קמ"ש שיש לו פתיחה של 5 ק"מ. המהירות שבה המשטרה סוגרת פער = 120 − 90 = 30 קמ"ש (לא 210!). זמן הסגירה: 5/30 = 10 דקות.
  3. בלבול בין יחס מרחקים ליחס זמנים. אם A ו-B התחילו באותו זמן ופגשו אחרי 4 שעות, A עבר 240 ק"מ ו-B עבר 160 ק"מ — היחס בין מהירויותיהם הוא 3:2 (כי הזמנים שווים). אבל אם השאלה אומרת ש-A ו-B נסעו את אותו מרחק, היחס בין הזמנים הוא הפוך — 2:3.
  4. שכיחת היחידות. "מהירות 72 קמ"ש, רכבת באורך 200 מטר עוברת על עמוד תוך כמה שניות?" — אם תכניס קמ"ש למשוואה עם מטרים, התשובה תהיה שגויה פי 1000. המר ל-20 מ"ש (72 × 5/18) ואז: 200/20 = 10 שניות.
  5. הזנחת זמן הפתיחה. "רכב X יצא בשעה 9:00 ב-60 קמ"ש. רכב Y יצא בשעה 10:30 באותו מסלול ב-90 קמ"ש. מתי Y ישיג את X?" — אסור לשכוח שכש-Y יוצא, X כבר עבר 90 ק"מ. הפער ההתחלתי הוא 90 ק"מ, סוגרים אותו ב-30 קמ"ש = 3 שעות. הפגישה ב-13:30.

טבלת תרחישים מהירה — מתי לחבר ומתי לחסר

הטבלה הזו פותרת 80% מהבלבול בשאלות שתי-גופים. הדפס אותה ושים מעל הספר.

תרחישנוסחת מהירות יחסיתשאלת מפתחדוגמה
פגישה — מנוגדיםR₁ + R₂תוך כמה זמן ייפגשו?שני רכבים זה לקראת זה
התרחקות — מנוגדיםR₁ + R₂מה המרחק אחרי t?שני סירות מנמל אחד לכיוונים הפוכים
רדיפה — אותו כיווןR₁ − R₂תוך כמה זמן ישיג?אופנוע רודף אחרי משאית
אותה נקודת התחלה, אותו כיווןR₁ − R₂מה הפער אחרי t?שני אצנים על אותו מסלול
הלוך-חזור (אותה דרך)R_avg = 2R₁R₂/(R₁+R₂)מהירות ממוצעת?נסיעה הביתה ובחזרה
מסע רב-שלבי (מרחקים שונים)R_avg = ΣD / ΣTמהירות ממוצעת?שלוש רגליים בדרך
גוף נע במסלול עגול — הקפהR₁ − R₂תוך כמה הקפה?רץ מהיר עוקף איטי
זרם נהר — עם הזרםR_boat + R_streamמהירות אפקטיבית?סירה שטה במורד הזרם
זרם נהר — נגד הזרםR_boat − R_streamמהירות אפקטיבית?סירה במעלה הזרם
טריק זיכרון: אם הם זזים אחד לכיוון השני או אחד לפני השני — חבר. אם הם זזים אחד מאחורי השני באותו כיוון — חסר.

תרגיל 2-דקות — חימום מנטלי

בלי מחשבון, בלי דף. תזמן 24 שניות לשאלה.

  1. רכב נוסע 75 ק"מ ב-90 דקות. מה המהירות בקמ"ש?
  2. שני רצים יוצאים זה לקראת זה ממרחק 18 ק"מ במהירויות 6 ו-12 קמ"ש. תוך כמה זמן ייפגשו?
  3. אדם נסע 40 ק"מ ב-80 קמ"ש ו-40 ק"מ נוספים ב-40 קמ"ש. מה מהירותו הממוצעת?
  4. אופנוע ב-100 קמ"ש סוגר פער של 15 ק"מ מול משאית ב-70 קמ"ש. תוך כמה זמן ישיג אותה?
  5. רכבת באורך 300 מטר עוברת על עמוד תוך 15 שניות. מהי מהירותה בקמ"ש?
לחץ לתשובות
תשובות: (1) 75 ק"מ ב-1.5 שעות = 50 קמ"ש.   (2) 18/(6+12) = 1 שעה.   (3) זמנים 0.5 ו-1 שעה, סך 1.5; מהירות = 80/1.5 = 53.33 קמ"ש.   (4) 15/(100−70) = 0.5 שעה = 30 דקות.   (5) 20 מ"ש × 18/5 = 72 קמ"ש.

צעד הבא — תרגול תחת לחץ זמן

הנוסחאות אצלך, אבל GMAT הוא מבחן של זמן. הסימולציה החינמית של psychome.co.il כוללת בנק שאלות rate ברמות קושי משתנות בקצב 1:50 לשאלה.

🎯 התחל סימולציית Quant

מדריכים קשורים

📐 GMAT Quant — סקירה כללית 🛠 Work Problems — עבודה משותפת 📊 Percentages — אחוזים 🧪 Mixtures — בעיות ערבוב 📊 Data Insights 📋 GMAT — מדריך ראשי
הבהרה: psychome.co.il אינו מסונף ל-GMAC (Graduate Management Admission Council), הגוף המנהל את מבחן ה-GMAT. כל השאלות והדוגמאות באתר נכתבו במקור על ידי הצוות שלנו ואינן נגזרות מ-Official Guide, Manhattan Prep, Magoosh, או כל מקור צד ג'.