הפרק הכמותי בפסיכומטרי בנוי ברובו מסוגי בעיות חוזרים - אותם דפוסים מופיעים שוב ושוב, רק עם מספרים שונים ובניסוח אחר. מי שמכיר את סוגי הבעיות ואת שיטת הפתרון של כל אחד מהם, מזהה במהירות מה השאלה דורשת ופותר אותה בביטחון. במדריך הזה ריכזנו את סוגי הבעיות הכמותיות המרכזיים - בעיות תנועה, בעיות עבודה משותפת, הסתברות, יחס ופרופורציה, משוואות עם שני נעלמים ובעיות אחוזים. לכל נושא תמצאו הסבר קצר על העיקרון, שאלות אמיתיות מתוך מאגר התרגול עם פתרון מלא, וטיפ אסטרטגי שיחסוך לכם זמן במבחן. אם אתם רק מתחילים את ההכנה, כדאי לקרוא גם את המדריך הכללי לתרגול פסיכומטרי, שמסביר איך לבנות שיטת עבודה נכונה.
בעיות תנועה
בעיות תנועה עוסקות בקשר שבין מהירות, מרחק וזמן. הנוסחה הבסיסית שממנה נגזר הכול היא מרחק = מהירות × זמן, וממנה אפשר לחלץ גם את הזמן (זמן = מרחק / מהירות) וגם את המהירות (מהירות = מרחק / זמן). רוב הבעיות הן פשוט הצבה נכונה בנוסחה הזו. מקרה מיוחד ושכיח הוא תנועה זה לקראת זה: כששני גופים נעים זה לעבר זה, המהירות שבה המרחק ביניהם מתקצר היא סכום המהירויות שלהם - למשל גוף במהירות 70 קמ״ש וגוף במהירות 50 קמ״ש מתקרבים בקצב של 120 קמ״ש. במקרה של תנועה באותו כיוון (רדיפה), לעומת זאת, המהירות היחסית היא ההפרש בין המהירויות. הטעות הנפוצה ביותר בבעיות תנועה היא בלבול ביחידות - ערבוב של דקות ושעות, או של מטרים וקילומטרים - ולכן כדאי תמיד לוודא שכל הנתונים באותה יחידה לפני החישוב.
בעיות תנועה · מהירות ומרחק
רכבת נוסעת במהירות 80 קמ״ש. כמה זמן ייקח לה לעבור מרחק של 200 ק״מ?
- 2.5 שעות ✓
- 2 שעות
- 3 שעות
- 3.5 שעות
משתמשים בנוסחה זמן = מרחק / מהירות: 200 / 80 = 2.5 שעות. שימו לב שהמסיחים הם ערכים שלמים "נוחים" - הם נועדו לפתות מי שמעגל את התוצאה בטעות.
בעיות תנועה · תנועה זה לקראת זה
שתי מכוניות יוצאות זו לקראת זו ממרחק 360 ק״מ. הראשונה במהירות 70 קמ״ש והשנייה במהירות 50 קמ״ש. לאחר כמה זמן ייפגשו?
- 3 שעות ✓
- 2.5 שעות
- 2 שעות
- 3.5 שעות
כשנעים זה לקראת זה, המהירויות מתחברות: 70 + 50 = 120 קמ״ש הוא הקצב שבו הפער נסגר. הזמן עד המפגש הוא 360 / 120 = 3 שעות.
טיפ: תמיד סמנו לעצמכם מה מבקשים - מרחק, מהירות או זמן - ורק אז בחרו את צורת הנוסחה. בתנועה זה לקראת זה חברו מהירויות; בתנועה באותו כיוון החסירו.
בעיות עבודה משותפת
בעיות עבודה משותפת (הנקראות גם בעיות הספק) עוסקות בקצב שבו גורם כלשהו מבצע עבודה - פועל שמסיים משימה, ברז שממלא בריכה, מכונה שמייצרת משלוח. הרעיון המרכזי הוא הספק: אם משהו מסיים עבודה שלמה ב-6 שעות, אזי בשעה אחת הוא משלים 1/6 מהעבודה. כאן טמון המפתח לכל הנושא - במקום לחשוב על זמן, חושבים על חלק מהעבודה לשעה. כששני גורמים עובדים יחד, מחברים את ההספקים שלהם: אם ברז אחד ממלא בריכה ב-4 שעות (הספק 1/4) וברז שני ב-6 שעות (הספק 1/6), אזי יחד ההספק הוא 1/4 + 1/6 = 5/12 לשעה, והזמן המשותף הוא ההופכי של סכום ההספקים. הטעות הנפוצה כאן היא לחבר את הזמנים במקום את ההספקים - חיבור הזמנים אף פעם אינו נכון, כי שני עובדים יחד תמיד מסיימים מהר יותר מכל אחד בנפרד, לא לאט יותר.
בעיות עבודה משותפת · הספק
פועל מסיים עבודה ב-6 שעות. מהו הספקו לשעה?
- 1/3
- 6
- 1/12
- 1/6 ✓
ההספק הוא החלק מהעבודה שמבוצע ביחידת זמן אחת. אם העבודה כולה נגמרת ב-6 שעות, אזי בשעה אחת מבוצע 1/6 מהעבודה. זו נקודת הפתיחה של כל בעיית עבודה משותפת.
בעיות עבודה משותפת · עבודה במקביל
ברז ראשון ממלא בריכה ב-4 שעות. ברז שני ממלא את אותה הבריכה ב-6 שעות. בכמה זמן ימלאו את הבריכה יחד?
- 2 שעות
- 2.5 שעות
- 2.4 שעות ✓
- 3 שעות
מחברים את ההספקים: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 מהבריכה לשעה. הזמן המשותף הוא ההופכי: 12/5 = 2.4 שעות. שימו לב שהתוצאה קטנה מזמן הברז המהיר יותר - סימן שהחישוב הגיוני.
טיפ: תמיד עברו קודם מ"זמן" ל"הספק" (חלק לשעה), חברו את ההספקים, ורק אז הפכו בחזרה לזמן. אם קיבלתם זמן משותף גדול מזמן העובד המהיר - טעיתם.
הסתברות
הסתברות מודדת עד כמה מאורע צפוי להתרחש, במספר בין 0 (בלתי אפשרי) ל-1 (ודאי). ההגדרה הבסיסית פשוטה: הסתברות = מספר התוצאות הרצויות / מספר התוצאות האפשריות. למשל, בהטלת קובייה הוגנת ההסתברות לקבל מספר מסוים היא 1/6, כי יש תוצאה רצויה אחת מתוך שש. בבעיות מורכבות יותר מופיעים כמה מאורעות ברצף. כאן חשוב להבחין: כשמחשבים הסתברות של שני מאורעות שקורים יחד (למשל להוציא שני כדורים אדומים), מכפילים את ההסתברויות. אם ההוצאה היא ללא החזרה - כלומר לא מחזירים את הכדור הראשון לפני ההוצאה השנייה - יש לעדכן את המונה והמכנה בהתאם לפני ההוצאה השנייה, כי מספר הכדורים בכד השתנה. זו נקודת המכשול הנפוצה ביותר בהסתברות: שכחה לעדכן את הכמויות בהוצאה ללא החזרה.
הסתברות · מאורע יחיד
בכד 5 כדורים אדומים ו-3 כדורים כחולים. מה ההסתברות להוציא כדור אדום בהוצאה אחת?
- 3/8
- 1/2
- 3/5
- 5/8 ✓
בכד 5 + 3 = 8 כדורים בסך הכול, מתוכם 5 אדומים. לכן ההסתברות היא 5/8. המסיח 3/8 הוא ההסתברות להוציא כחול - מלכודת למי שמתבלבל בין הצבעים.
הסתברות · מאורעות ללא החזרה
בשק 4 כדורים אדומים ו-6 כדורים שחורים. מוציאים שני כדורים זה אחר זה, ללא החזרה. מהי ההסתברות ששניהם אדומים?
- 2/15 ✓
- 4/25
- 1/5
- 4/15
בהוצאה הראשונה ההסתברות לאדום היא 4/10. אחרי שהוצאנו כדור אדום, נשארו 3 אדומים מתוך 9, כלומר 3/9. מכפילים: 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15. המסיח 4/25 נובע מחישוב עם החזרה בטעות.
טיפ: ב"וגם" (שני מאורעות יחד) מכפילים; ב"או" (מאורע אחד מבין כמה) מחברים. בהוצאה ללא החזרה, זכרו לעדכן את סך הכדורים אחרי כל הוצאה.
יחס ופרופורציה
יחס מבטא את הקשר הכמותי בין שני גדלים או יותר - למשל היחס 3:5 אומר שעל כל 3 יחידות מסוג אחד יש 5 יחידות מהסוג השני. פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים, וממנה נובעת שיטת הפתרון המרכזית של הנושא. הטכניקה החשובה ביותר היא לחשוב במונחים של "מנה" או חלק: אם היחס הוא 2:3 וסך הכול 100, מחלקים ל-2 + 3 = 5 חלקים שווים, כל חלק שווה 100 / 5 = 20, ומכאן מרכיבים את כל אחד מהגדלים. עיקרון מפתח נוסף הוא שיחס אפשר לצמצם או להרחיב בלי לשנות אותו: 12:18 שקול ל-2:3, בדיוק כמו צמצום שבר. בעיות יחס נפוצות מאוד בפסיכומטרי - חלוקת סכום כסף, ערבוב חומרים, כמויות בקבוצה - ולכן שליטה בשיטת החלקים משתלמת במיוחד.
יחס ופרופורציה · פרופורציה
היחס בין מספר הבנים למספר הבנות בכיתה הוא 3:5. אם בכיתה 25 בנות, כמה בנים יש בכיתה?
- 12
- 15 ✓
- 18
- 14
היחס 3:5 אומר שכל "יחידת יחס" של בנות שווה 25 / 5 = 5 תלמידים. מספר הבנים הוא 3 יחידות כאלה: 3 × 5 = 15 בנים.
יחס ופרופורציה · חלוקה לפי יחס
חילקו 100 ש״ח בין שני אחים ביחס 2:3. כמה ש״ח קיבל האח שקיבל את החלק הגדול?
- 40
- 50
- 70
- 60 ✓
סך החלקים הוא 2 + 3 = 5, כלומר כל חלק שווה 100 / 5 = 20 ש״ח. החלק הגדול הוא 3 חלקים: 3 × 20 = 60 ש״ח.
טיפ: בכל בעיית יחס, חשבו קודם כמה שווה "חלק אחד" - סכמו את מספרי היחס וחלקו את הכמות הכוללת. מכאן כל שאר החישובים הופכים לכפל פשוט.
משוואות עם שני נעלמים
מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים מופיעה כשיש שני גדלים לא ידועים ושני תנאים המקשרים ביניהם. הכלל היסודי: כדי למצוא שני נעלמים דרושות שתי משוואות בלתי תלויות. שתי שיטות הפתרון הנפוצות הן הצבה - מבודדים נעלם אחד במשוואה אחת ומציבים אותו בשנייה - וחיבור/חיסור (שיטת המאזניים), שבה מחברים או מחסירים את המשוואות כדי לבטל נעלם. למשל, במערכת x + y = 10 ו-x − y = 4, חיבור שתי המשוואות מבטל את y ומשאיר 2x = 14, כלומר x = 7. כשאחת המשוואות כבר נותנת נעלם במונחי השני (למשל x = 2y), ההצבה היא הדרך המהירה ביותר. בפסיכומטרי לרוב מבקשים רק אחד מהנעלמים, ולכן שווה לשים לב מה בדיוק מבקשים לפני שפותרים את כל המערכת - לפעמים אפשר לחסוך שלב.
משוואות עם שני נעלמים · שיטת החיבור
נתון: x + y = 10 , x − y = 4. מהו x?
- 5
- 7 ✓
- 3
- 8
מחברים את שתי המשוואות אבר-אבר: (x + y) + (x − y) = 10 + 4, כלומר 2x = 14 ולכן x = 7. חיבור המשוואות ביטל את y וחסך שלב.
משוואות עם שני נעלמים · שיטת ההצבה
נתון: x + y = 15 , x = 2y. מהו y?
- 3
- 5 ✓
- 7
- 10
המשוואה השנייה כבר נותנת את x במונחי y, ולכן מציבים x = 2y בראשונה: 2y + y = 15, כלומר 3y = 15 ולכן y = 5.
טיפ: אם נעלם כבר מבודד (כמו x = 2y) - השתמשו בהצבה; אם המשוואות מסודרות יפה עם אותם מקדמים - חברו או החסירו כדי לבטל נעלם. בחרו את השיטה הקצרה יותר לשאלה שלפניכם.
בעיות אחוזים
בעיות אחוזים הן מהסוגים הנפוצים ביותר בפסיכומטרי, והן חוזרות על אותו עיקרון בין אם מדובר בהנחה, ברווח, בשינוי כמות או בריבית. אחוז הוא פשוט שבר מתוך 100: 25% הם 25/100 = 0.25. הטכניקה החזקה ביותר לשאלות אחוזים היא הצבת המספר 100 כנקודת מוצא, במיוחד כשלא נתון ערך התחלתי - הצבה זו הופכת אחוזים למספרים ממשיים וקלים לחישוב. חשוב לזכור שהעלאה והורדה באותו אחוז אינן מתקזזות, כי כל שינוי מחושב מבסיס אחר. הנושא כה מרכזי שהקדשנו לו מדריך נפרד ומפורט - למי שרוצה להעמיק בכל סוגי שאלות האחוזים (הנחות מצטברות, רווח והפסד, שינוי כמות ועוד) מומלץ לעבור למדריך המלא לבעיות אחוזים בפסיכומטרי. כאן נציג שתי דוגמאות מייצגות.
בעיות אחוזים · הנחה
חולצה עלתה 80 ש״ח וקיבלה הנחה של 25%. כמה היא עולה אחרי ההנחה?
- 60 ש״ח ✓
- 55 ש״ח
- 65 ש״ח
- 70 ש״ח
ההנחה היא 25% מ-80, כלומר 0.25 × 80 = 20 ש״ח. המחיר אחרי ההנחה: 80 − 20 = 60 ש״ח. דרך מהירה יותר: הנחה של 25% משאירה 75%, ו-0.75 × 80 = 60.
בעיות אחוזים · שינוי כפול
מספר הוקטן ב-20% ולאחר מכן הוגדל ב-20%. מהו השינוי הכולל?
- נשאר זהה
- הוקטן ב-4% ✓
- הוגדל ב-4%
- הוקטן ב-2%
נניח שהמספר ההתחלתי הוא 100. אחרי הקטנה ב-20% נקבל 80, ואחרי הגדלה ב-20%: 80 × 1.2 = 96 - כלומר ירידה כוללת של 4%. ההגדלה וההקטנה אינן מתקזזות, כי האחוז השני מחושב מבסיס נמוך יותר.
טיפ: כשאין ערך התחלתי נתון, הציבו 100 - זה מפשט כמעט כל שאלת אחוזים. וזכרו: העלאה והורדה באותו אחוז תמיד מסתיימות בירידה קלה, לא באפס.
תרגול לפי נושא
הדרך היעילה ביותר לשלוט בכל סוג בעיה היא לפתור עשרות שאלות ממנו עד שהזיהוי והפתרון הופכים לאוטומטיים. בטבלה שלפניכם קישורים ישירים למאגרי התרגול הרלוונטיים - בחרו נושא, רמת קושי וכמות שאלות, וקבלו פתרון מלא לכל שאלה.
| נושא | איפה לתרגל |
|---|---|
| בעיות תנועה, עבודה משותפת ובעיות מילוליות | תרגול ממוקד - 1,498 שאלות |
| הסתברות וקומבינטוריקה | תרגול ממוקד - 492 שאלות |
| יחס, פרופורציה ואחוזים | בעיות אחוזים · תרגול ממוקד - 2,282 שאלות |
| משוואות עם שני נעלמים ואלגברה | מדריך אלגברה · תרגול ממוקד - 1,575 שאלות |
| גאומטריה | מדריך גאומטריה · תרגול ממוקד - 1,334 שאלות |
| פעולה מוגדרת | מדריך פעולה מוגדרת |
| בעיות שעון | מדריך בעיות שעון |
| כל התחום הכמותי במקום אחד | מאגר החשיבה הכמותית |
שאלות נפוצות על הבעיות הכמותיות בפסיכומטרי
ריכזנו כאן את השאלות הנפוצות ביותר על סוגי הבעיות הכמותיות ועל דרך הפתרון שלהן - מאיך יודעים באיזו נוסחה להשתמש, ועד השאלה אם עדיף להציב מספרים או לפתור עם משוואה.
איך יודעים באיזו נוסחה להשתמש בכל בעיה כמותית?
מזהים את סוג הבעיה לפי מילות המפתח שבשאלה: מהירות ומרחק מצביעים על בעיית תנועה, זמן להשלמת עבודה על בעיית הספק, יחס בין כמויות על בעיית יחס. ככל שמתרגלים יותר, זיהוי סוג הבעיה הופך למיידי - וזו הדרך הבטוחה ביותר לבחור את הנוסחה הנכונה.
מהו סוג הבעיה הכמותית הנפוץ ביותר בפסיכומטרי?
אין סוג יחיד ששולט בפרק, אך בעיות אחוזים, יחס ופרופורציה ובעיות תנועה מופיעות לעיתים קרובות, לצד הסתברות ומערכות משוואות. לכן כדאי להכיר את כל הסוגים ולא להתמקד רק באחד.
האם צריך לזכור נוסחאות בעל פה למבחן?
מספר קטן של נוסחאות בסיסיות (כמו מרחק שווה מהירות כפול זמן) כדאי להכיר היטב, אך רוב הבעיות נפתרות מהיגיון ולא משינון. הבנה של העיקרון עדיפה על שינון, כי היא מאפשרת להתמודד גם עם שאלות בניסוח לא מוכר.
מה עדיף - לפתור עם משוואה או להציב מספרים?
תלוי בשאלה. בבעיות עם אחוזים או יחסים, הצבת מספר נוח (למשל 100) מפשטת מאוד את החישוב. בבעיות עם שני נעלמים לרוב עדיף לפתור את המערכת ישירות. שווה לתרגל את שתי השיטות ולבחור בכל שאלה את המהירה יותר.
כמה זמן כדאי להשקיע בכל שאלה כמותית?
אין כלל אחיד, אך אם שאלה תוקעת אתכם זמן רב, לרוב עדיף לסמן אותה, להמשיך הלאה ולחזור אליה בסוף. תרגול ממוקד לפי סוג בעיה מקצר את זמן הפתרון, כי זיהוי הסוג והשיטה הופך מהיר יותר.