הסתברות היא אחד הנושאים שמחלקים את הנבחנים לשניים: מי שחושב "זה פשוט מתמטיקה של מכנה ומונה" ומי שחושב "אף פעם לא מבין מתי לכפול ומתי לחסר". הבשורה הטובה: כל שאלות ההסתברות בפסיכומטרי נפתרות עם 5 נוסחאות בלבד. אם יודעים מתי לשלוף איזו נוסחה - השאלות הופכות לניתנות לפתרון מכאני.
במאמר הזה נעבור על כל הנושאים שנדרשים - הסתברות בסיסית, כלל הכפל והחיבור, הסתברות מותנית, "לפחות אחד" וקומבינטוריקה - ונסיים עם 10 שאלות מדורגות מהרמה הקלה ביותר ועד לשאלה שתופיע רק בתחרות הגבוהה.
מה נבחן בהסתברות פסיכומטרי
הפרק הכמותי מכיל 40-44 שאלות. מתוכן, 4-6 שאלות עוסקות בהסתברות וקומבינטוריקה. הנושאים מחולקים כך:
| נושא | מספר שאלות משוער | רמת קושי |
|---|---|---|
| הסתברות בסיסית (P = מונה/מכנה) | 1-2 | קל-בינוני |
| כלל החיבור / כפל | 1 | בינוני |
| הסתברות מותנית | 0-1 | בינוני-קשה |
| "לפחות אחד" (משלים) | 1 | בינוני |
| קומבינטוריקה (חליפות, צירופים) | 1-2 | בינוני-קשה |
שימו לב: שאלות ההסתברות לרוב לא מצריכות חישובים ארוכים - הן בוחנות הבנה מושגית. מי שמבין את ההיגיון, יוכל לפתור שאלה בינונית תוך 60-90 שניות.
יסודות חובה: 5 הנוסחאות
1. הסתברות בסיסית
P(A) = מספר המקרים הרצויים / מספר כל המקרים האפשריים
מרחב המדגם הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות. כל תוצאה שווה-סבירה. מונים כמה תוצאות מקיימות את התנאי, מחלקים בסך הכל.
דוגמה: קוביה הוגנת בעלת 6 פאות. P(מספר גדול מ-4) = מספר הפאות הגדולות מ-4 (5, 6) חלקי 6 = 2/6 = 1/3.
2. כלל החיבור
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)אם A ו-B אינם יכולים לקרות יחד (זרים):
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
כשחוברים שני אירועים עם "או", הפירוש הוא האיחוד. אם הם זרים (לא יכולים להתרחש בו-זמנית) - פשוט מחברים. אם לא - יש להוריד את החפיפה, כי חישבנו אותה פעמיים.
דוגמה: P(אס) = 4/52, P(לב) = 13/52, P(אס לב) = 1/52.
P(אס או לב) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13.
3. כלל הכפל - תלוי ובלתי-תלוי
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)אירועים תלויים (תוצאת הראשון משפיעה על השני)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
השאלה הקריטית: האם המשיכה הראשונה משפיעה על מה שאפשרי בשנייה? אם שולפים כדור ומחזירים - בלתי-תלוי. אם שולפים ולא מחזירים - תלוי.
4. כלל המשלים
P(לא A) = 1 − P(A)
סכום ההסתברויות של כל האירועים האפשריים שווה 1. לכן, אם יודעים את P(A), קל לחשב P(לא A) = 1 − P(A). שימושי במיוחד כשחישוב ה"לא" פשוט יותר מחישוב האירוע עצמו.
5. "לפחות אחד" - תמיד משלים
P(לפחות 1) = 1 − P(אף אחד לא מתרחש)
זו הנוסחה הכי חשובה לזכור בהסתברות פסיכומטרי. כשמופיעות המילים "לפחות אחד" - תמיד חישבו את ההפך. "אף אחד" הוא בדרך כלל מקרה אחד פשוט לחישוב, ובכך חוסכים המון עבודה.
הסתברות מותנית: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). קוראים: "הסתברות של A בהינתן B". מרחב המדגם מצטמצם לאירועים שבהם B התרחש.
קומבינטוריקה - מה צריך לדעת
קומבינטוריקה נכנסת לתמונה כשצריך לספור מספר אפשרויות - כדי לחשב את המונה, המכנה, או שניהם. במדריך הקומבינטוריקה המלא תמצאו הסבר מורחב; כאן נסכם את הדברים שחייבים לדעת.
מתי סידורים, מתי בחירות?
שאלה אחת: האם הסדר חשוב?
| סוג | מתי | נוסחה | מילות מפתח |
|---|---|---|---|
| סידורים (Permutations) | הסדר חשוב | n! לכל n האיבריםP(n,k) = n!/(n−k)! ל-k מתוך n |
שורה, מקום ראשון, מספר, תור |
| בחירות (Combinations) | הסדר לא חשוב | C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!) |
ועדה, קבוצה, צוות, לבחור |
בכל שאלת "ועדה" או "קבוצה":
C(n,k) ולא P(n,k).
ערכים שכדאי לזכור בעל-פה: C(n,2) = n×(n−1)/2. C(5,2)=10, C(6,2)=15, C(8,2)=28, C(10,2)=45.
10 שאלות הסתברות פסיכומטרי מדורגות
שאלות קלות
מטילים קוביה הוגנת בעלת שש פאות (1-6). מה ההסתברות שהתוצאה תהיה מספר זוגי?
P(זוגי) = 3/6 = 1/2.
בשקית יש 3 כדורים אדומים, 2 כחולים ו-5 ירוקים. שולפים כדור אחד באקראי. מה ההסתברות שהכדור אינו ירוק?
P(לא ירוק) = 5/10 = 1/2.
חלופית: P(לא ירוק) = 1 − P(ירוק) = 1 − 5/10 = 1/2.
מטילים שתי קוביות הוגנות. מה ההסתברות שסכום שתי התוצאות יהיה שווה ל-7?
זוגות שסכומם 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) - בדיוק 6 זוגות.
P(סכום=7) = 6/36 = 1/6.
שאלות בינוניות
בכיתה 20 בנות ו-10 בנים. בוחרים 2 תלמידים באקראי. מה ההסתברות ששניהם בנים?
דרכים לבחור 2 בנים מתוך 10: C(10,2) = 10×9/2 = 45.
P(שניהם בנים) = 45/435 = 3/29.
טיפ: פשטו את השבר - 45/435 = 9/87 = 3/29.
P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, והאירועים A ו-B בלתי-תלויים. מה P(A ∪ B)?
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.4 + 0.3 − 0.12 = 0.58.
טעות נפוצה: לחבר בלבד ולקבל 0.70 - שוכחים להוריד את החפיפה.
בשקית 5 כדורים: 2 לבנים ו-3 אדומים. שולפים 2 כדורים ללא החזרה. מה ההסתברות שלפחות אחד לבן?
P(לפחות 1 לבן) = 1 − P(אף לבן) = 1 − P(שניהם אדומים).
כל הדרכים לבחור 2 מתוך 5: C(5,2) = 10.
דרכים לבחור 2 אדומים מתוך 3: C(3,2) = 3.
P(שניהם אדומים) = 3/10.
P(לפחות 1 לבן) = 1 − 3/10 = 7/10.
שאלות קשות
נתון: P(B|A) = 0.6 ו-P(A) = 0.5. מה P(A ∩ B)?
לכן: P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) = 0.6 × 0.5 = 0.3.
זכרו: P(B|A) ≠ P(A|B). P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) - לכך צריך לדעת את P(B).
יש 4 כרטיסים עם הספרות 1, 2, 3, 4. מסדרים 3 כרטיסים בשורה ליצירת מספר תלת-ספרתי (כל כרטיס לכל היותר פעם אחת). מה ההסתברות שהמספר שנוצר גדול מ-200?
סה״כ מספרים תלת-ספרתיים אפשריים: P(4,3) = 4×3×2 = 24.
מספרים ≤ 200 - כלומר מספרים שמתחילים ב-1:
הספרה הראשונה: 1 (בלבד). הנותרות: בוחרים 2 מהספרות 2,3,4 בסדר: 3×2 = 6 מספרים.
מספרים גדולים מ-200: 24 − 6 = 18.
P(גדול מ-200) = 18/24 = 3/4.
חלופית: מרחב המדגם שווה-סבירות לספרה הראשונה: 1, 2, 3, 4. הסיכוי שהספרה הראשונה > 1 (כלומר 2, 3 או 4) הוא 3/4 - ובכל מקרה כזה המספר > 200.
ועדה של 3 אנשים נבחרת מתוך קבוצה של 5 גברים ו-3 נשים. מה ההסתברות שהוועדה תכיל בדיוק 2 נשים?
סה״כ דרכים לבחור ועדה של 3 מתוך 8: C(8,3) = 56.
דרכים לבחור 2 נשים מתוך 3 ו-1 גבר מתוך 5:
C(3,2) × C(5,1) = 3 × 5 = 15.
P(בדיוק 2 נשים) = 15/56 = 15/56 ≈ 0.268.
קלע יורה 3 יריות עצמאיות. ההסתברות לפגיעה בכל ירייה היא 0.7. מה ההסתברות שיהיו לפחות 2 פגיעות?
P(פגיעה) = 0.7, P(החטאה) = 0.3. 3 יריות עצמאיות.
מקרה A: בדיוק 2 פגיעות (3 מצבים: פח, פחפ, חפף - כל אחד פ=0.7, ח=0.3):
C(3,2) × (0.7)² × (0.3)¹ = 3 × 0.49 × 0.3 = 3 × 0.147 = 0.441.
מקרה B: בדיוק 3 פגיעות:
(0.7)³ = 0.343.
P(לפחות 2) = 0.441 + 0.343 = 0.784.
בדיקה עם משלים: P(0 פגיעות) = (0.3)³ = 0.027. P(1 פגיעה) = C(3,1)×0.7×(0.3)² = 3×0.063 = 0.189.
P(לפחות 2) = 1 − 0.027 − 0.189 = 0.784. ✓
רוצים יותר שאלות? תרגול כמותי מלא כולל עשרות שאלות הסתברות עם הסברים מפורטים.
5 מלכודות קלאסיות בהסתברות פסיכומטרי
-
"לפחות אחד" - תמיד משלים, אף פעם לא חישוב ישיר.
כשרואים "לפחות אחד", האינסטינקט הוא לחשב ישירות - פגיעה אחת + פגיעה שניה + ... זה מסובך ומועד לשגיאות. תמיד השתמשו ב-1 − P(אפס). זה הרבה יותר מהיר וכמעט אף פעם לא מביא לטעות. -
תלוי vs בלתי-תלוי - שאלו: "האם הראשון משפיע על השני?"
שאלות "שולפים כדורים ללא החזרה" - תלויות. "מטילים קוביה כמה פעמים" - בלתי-תלוי. הטעות הנפוצה: לכפול את ההסתברויות המקוריות גם בשאלות ללא החזרה. בשאלות ללא החזרה, המכנה קטן בכל שלב. -
שכחת חלוקה ב-k! בבחירות.
"ועדה של 3" ≠ "3 מקומות בתחרות". ועדה = צירוף = C(n,k). תחרות = סידור = P(n,k). ועדה שבה חלקו ב-k! לעומת תחרות שלא - ההבדל יכול להיות פקטור של 6. בדקו בכל שאלה מה מחייב. -
הסתברות מותנית: P(A|B) ≠ P(B|A).
"ההסתברות שסטודנט עומד בבחינה, בהינתן שלמד" שונה לגמרי מ"ההסתברות שלמד, בהינתן שעמד בבחינה". שתי השאלות נשמעות דומות - התשובות עשויות להיות שונות לגמרי. זהו אחד המלכודות ההסתברות הנפוצות ביותר. -
P > 1 - סימן ברור לטעות.
הסתברות היא תמיד בין 0 ל-1. אם קיבלתם משהו כמו 7/4 או 1.3 - חישבתם משהו לא נכון. בדקו אם חיברתם כשהיה צריך לחסר, או השתמשתם בחליפות במקום בחירות.
אסטרטגיית תרגול מומלצת
הסתברות היא נושא שבו כמות חשובה מאיכות בשלב ההתחלתי. הנה סדר תרגול מומלץ:
- שלב 1: שננו את 5 הנוסחאות עד שהן יוצאות אוטומטית. לא צריך להבין עמוק - רק לזהות מהר מה לשלוף.
- שלב 2: פתרו 20-30 שאלות בסיסיות (קלות) - מטרת השלב הזה היא מהירות, לא נכונות.
- שלב 3: רכזו את השגיאות - בדקו איזה סוג שגיאה חוזרת (הסתברות מותנית? "לפחות אחד"? קומבינטוריקה?).
- שלב 4: פתרו שאלות קשות ממבחני פסיכומטרי אמיתיים, תחת לחץ זמן.
הנושא הכי כדאי לחזק לפני הבחינה הוא "לפחות אחד" + קומבינטוריקה בסיסית - שתי שאלות שבדרך כלל מופיעות ואפשר לפתור מכאנית אחרי שמבינים את הלוגיקה.
לחיזוק הנושא המלא, בקרו גם בריכוז נוסחאות כמותי, במדריך שאלות כמותי ובטעויות נפוצות בכמותי.
שאלות נפוצות
כמה שאלות הסתברות יש בפסיכומטרי?
בפרק הכמותי (40-44 שאלות) מופיעות בדרך כלל 4-6 שאלות הסתברות וקומבינטוריקה. הן מפוזרות על פני רמות הקושי, ולפחות שתיים מהן הן שאלות בינוניות-קשות. בהשקעה של 6-8 שעות אפשר לשלוט בנושא מספיק כדי לפתור לפחות 3-4 מהן נכון.
מה ההבדל בין הסתברות מותנית לבלתי-תלויה?
אירועים בלתי-תלויים: תוצאת הראשון אינה משפיעה על השני. P(A∩B) = P(A)×P(B). אירועים תלויים: תוצאת הראשון משפיעה על השני. P(A∩B) = P(A)×P(B|A), כאשר P(B|A) היא ההסתברות ל-B בהינתן שהתרחש A.
מתי משתמשים בנוסחת "לפחות אחד"?
תמיד כש"לפחות אחד" מופיע בשאלה, משתמשים במשלים: P(לפחות 1) = 1 − P(אף אחד). זה קל יותר כי המקרה "אף אחד" הוא בדרך כלל חישוב אחד פשוט. חישוב ישיר מצריך לפרט מקרים (בדיוק 1 + בדיוק 2 + ...) שנוטה להביא לשגיאות.
מה ההבדל בין חליפות לצירופים בהסתברות?
כשצריך לחשב הסתברות עם בחירת קבוצות, שואלים: האם הסדר חשוב? "ועדה", "קבוצה", "צוות" - הסדר לא חשוב, משתמשים ב-C(n,k). "שורה", "מקום ראשון", "מספר בן k ספרות" - הסדר חשוב, משתמשים ב-P(n,k) או n!. לסיכום מורחב ראו את המדריך לקומבינטוריקה.
איך לא מסתבכים בהסתברות מותנית?
הכלל הפשוט: P(A|B) = P(A∩B) / P(B). תמיד שאלו "מה מרחב המדגם החדש?" - כשיודעים ש-B התרחש, מרחב המדגם מצטמצם רק לאירועים שבהם B מתרחש. שגיאה נפוצה: לחשב P(B|A) כשצריך P(A|B) - אלה לרוב מספרים שונים לחלוטין. בדקו מה נתון ומה נשאל.