בעיות תנועה הן אחת מהנושאים הסלקטיביים ביותר בפרק הכמותי: שתי דקות של ניתוח לא נכון, ופספסתם שאלה ועוד שתיים שבאות אחריה. הסוד הוא לא לזכור עשרות נוסחאות — אלא לזהות במהירות לאיזה סוג שייכת הבעיה, ואז להציב את הנתונים בנוסחה הספציפית של אותו סוג. במדריך הזה תכירו את ששת הצעדים, תראו שלוש דוגמאות מודרכות עם פתרון מלא, ותלמדו אילו טעויות יחידות גורמות לתשובה שגויה גם כשהמתמטיקה נכונה.
כל בעיית תנועה מורכבת משני מרכיבים בסיסיים: שני גופים (לפעמים אחד וצירוף נסיבות) ושלושה משתנים — מהירות, מרחק וזמן. הקשר ביניהם הוא תמיד V = D / T. הצעדים הבאים מנחים אתכם איך להפיק מהשאלה את הנתונים הנכונים ולהציב אותם בנוסחה המתאימה.
אל תפתרו בעיית תנועה בראש. שרטטו קו אופקי שמייצג את המסלול. סמנו עליו את נקודת ההתחלה של כל גוף, את הכיוון שאליו הוא נע (חץ), ואת המהירות שלו. ציור פשוט חוסך 90% מהטעויות בזיהוי הסיטואציה.
יש ארבעה סוגים עיקריים: מפגש (שני גופים נעים זה לקראת זה), רדיפה (שני גופים נעים באותו כיוון, האחד מאחור), כיוון נגדי / התרחקות (שני גופים מתרחקים), וסיבוב / מסלול סגור (גופים שעוקפים זה את זה במעגל). כל סוג מוביל לנוסחה ספציפית, ולכן הזיהוי קריטי.
כתבו לצד הציור שלכם את שלוש הצורות של הנוסחה: V = D/T D = V·T T = D/V. ארגנו את הנתונים בטבלה קצרה: לכל גוף — V, D, T. כל מה שלא נתון בשאלה תסמנו במשתנה.
כשהגופים נעים זה לקראת זה, המהירות שבה המרחק ביניהם מתקטן היא V₁ + V₂. אם המרחק ההתחלתי ביניהם הוא D, אז זמן המפגש הוא t = D / (V₁ + V₂). למשל: שני רכבים במרחק 300 ק"מ, מהירויות 80 ו-70 קמ"ש — נפגשים אחרי 300/150 = 2 שעות.
כשגוף מהיר רודף אחרי גוף איטי שכבר התקדם, המהירות היחסית של הסגירה היא V₁ − V₂ (כאשר V₁ הוא של הרודף). זמן הסגירה הוא t = פער מרחק / (V₁ − V₂). הקושי הנפוץ: חישוב הפער המרחק נכון, שכולל את היתרון של ההתחלה.
מקור שגיאה #1 בבעיות תנועה הוא ערבוב יחידות. אם המהירות נתונה בקמ"ש (קילומטר לשעה) — הזמן חייב להיות בשעות, והמרחק בקילומטרים. אם הזמן נתון בדקות — או שתמירו אותו לשעות (חלוקה ב-60), או שתמירו את המהירות למטר-לדקה. זכרו: 1 קמ"ש = 1000/3600 מ/ש ≈ 0.278 מ/ש.
| סוג הבעיה | מהירות יחסית | זמן עד אירוע |
|---|---|---|
| מפגש (זה לקראת זה) | V₁ + V₂ | D / (V₁ + V₂) |
| רדיפה (אותו כיוון) | V₁ − V₂ | פער / (V₁ − V₂) |
| התרחקות | V₁ + V₂ | פער = (V₁+V₂)·t |
| סיבוב / הקפה | תלוי בכיוון | היקף / מהירות יחסית |
משתי תחנות שמרוחקות 240 ק"מ זו מזו יוצאים בו-זמנית שני אוטובוסים זה לקראת זה. האחד נוסע במהירות 50 קמ"ש, השני במהירות 70 קמ"ש. אחרי כמה שעות הם ייפגשו?
דנה יוצאת לטיול אופניים במהירות 12 קמ"ש. שעה אחרי שהיא יוצאת, אחיה רוני יוצא אחריה באותו מסלול במהירות 18 קמ"ש. אחרי כמה זמן (מרגע יציאת רוני) הוא ישיג אותה?
רכבת בנסיעה במהירות 90 קמ"ש עוברת מנהרה באורך 600 מטר. אורך הרכבת 150 מטר. כמה שניות נמשך המעבר מהרגע שבו ראש הרכבת נכנס למנהרה ועד שזנב הרכבת יוצא מהמנהרה?
מאות שאלות תנועה מסווגות לפי סוג — מפגש, רדיפה, סיבוב, יחידות מעורבות.
תרגל בעיות תנועה עכשיו