הפרק הכמותי בפסיכומטרי לא בוחן ידע מתמטי מתקדם — הוא בוחן אוטומציה. שאלה שדורשת חישוב אחוז שינוי או חישוב היקף מעגל צריכה להיפתר תוך פחות מ-15 שניות. בכל פעם שהמועמד עוצר ושואל "מה הנוסחה?", הוא מאבד 30-40 שניות יקרות.
במאמר הזה ריכזנו את 20 הנוסחאות שחובה לזכור בעל-פה לפרק הכמותי, מחולקות ל-7 קטגוריות מרכזיות. לכל נוסחה צירפנו דוגמה קצרה כדי לוודא שהיא נשארת בזיכרון לא כסימן מופשט אלא ככלי עבודה.
קטגוריה 1: אחוזים
קטגוריית האחוזים שולטת בכ-20% מהשאלות הכמותיות. אם אתם לא יודעים להפוך אחוז שינוי לחישוב מיידי — אתם מבזבזים זמן.
נוסחה 1: חישוב אחוז מערך
אחוז מערך = (חלק / שלם) × 100
דוגמה: אם 15 מתוך 60 תלמידים נכשלו, אחוז הנכשלים הוא (15/60) × 100 = 25%.
נוסחה 2: ערך אחרי שינוי באחוזים
ערך חדש = ערך מקורי × (1 ± אחוז/100)
דוגמה: מחיר של 200 ש"ח שהתייקר ב-15%: 200 × 1.15 = 230 ש"ח.
נוסחה 3: אחוז שינוי
אחוז שינוי = ((חדש − ישן) / ישן) × 100
דוגמה: מחיר עלה מ-80 ל-100 ש"ח. אחוז העלייה: ((100 − 80) / 80) × 100 = 25%.
נוסחה 4: שני שינויים רצופים באחוזים
מקדם משולב = (1 ± a/100) × (1 ± b/100)
דוגמה: ירידה של 20% ואז עלייה של 25% נותנת מקדם 0.8 × 1.25 = 1.0, כלומר חזרה לערך המקורי. עיקרון חשוב: אחוזים לא מתחברים, הם מתרבים.
למתעמקים בקטגוריה זו, המלצה: מערכת התרגול שלנו לאחוזים מכילה אלפי שאלות מדורגות.
קטגוריה 2: יחס ופרופורציה
נוסחה 5: שלשה ביחס נתון
אם a : b = c : d, אזי a × d = b × c
דוגמה: אם 3 פועלים בונים קיר ב-12 שעות, כמה שעות יידרשו ל-4 פועלים? 3 × 12 = 4 × x, ולכן x = 9 שעות.
נוסחה 6: חלוקה ביחס
חלק = (סה"כ × יחס_חלק) / סכום_היחסים
דוגמה: מחלקים 480 ש"ח ביחס 3:5. החלק הגדול = 480 × 5/8 = 300 ש"ח.
נוסחה 7: מהירות, זמן ודרך
דרך = מהירות × זמן
דוגמה: מכונית בנסיעה במהירות 80 קמ"ש במשך 2.5 שעות עברה 80 × 2.5 = 200 ק"מ. בשאלות מורכבות יותר: לפעמים נוח לעבוד עם זמן = דרך / מהירות.
קטגוריה 3: ממוצעים
נוסחה 8: ממוצע חשבוני
ממוצע = סכום ערכים / מספר הערכים
דוגמה: ציוני 70, 80, 90 — ממוצע = 240/3 = 80.
נוסחה 9: סכום מתוך ממוצע
סכום = ממוצע × מספר ערכים
דוגמה: 25 תלמידים בממוצע 76 — סכום הציונים הוא 25 × 76 = 1,900. נוסחה חיונית כששואלים "ציון של תלמיד חדש".
נוסחה 10: ממוצע משוקלל
ממוצע משוקלל = (a×w₁ + b×w₂) / (w₁ + w₂)
דוגמה: כיתה א' (20 תלמידים, ממוצע 75) וכיתה ב' (30 תלמידים, ממוצע 85): הממוצע המשולב = (20×75 + 30×85) / 50 = (1500 + 2550)/50 = 81.
קטגוריה 4: הסתברות
נוסחה 11: הסתברות בסיסית
P(A) = מספר תוצאות רצויות / מספר תוצאות אפשריות
דוגמה: בקובייה רגילה, הסתברות לקבל 5 או 6 היא 2/6 = 1/3.
נוסחה 12: הסתברות "וגם" עבור מאורעות בלתי תלויים
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
דוגמה: שתי הטלות מטבע — הסתברות לשני "עץ" = 1/2 × 1/2 = 1/4.
נוסחה 13: הסתברות "או" עבור מאורעות זרים
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
דוגמה: שליפת קלף שהוא לב או מלך מתוך חפיסה: P = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13.
נוסחה 14: הסתברות משלימה ("לפחות אחד")
P(לפחות אחד) = 1 − P(אף אחד)
דוגמה: מטילים קובייה 3 פעמים. הסתברות שיופיע 6 לפחות פעם אחת = 1 − (5/6)³ = 1 − 125/216 ≈ 42%.
קטגוריה 5: גאומטריה
נוסחה 15: שטח והיקף של צורות בסיסיות
מלבן: שטח = אורך × רוחב; היקף = 2(אורך + רוחב)
משולש: שטח = (בסיס × גובה) / 2
טרפז: שטח = ((בסיס_עליון + בסיס_תחתון) × גובה) / 2
דוגמה: טרפז עם בסיסים 6 ו-10 וגובה 4 → שטח = (6+10) × 4 / 2 = 32.
נוסחה 16: מעגל
היקף = 2πr; שטח = πr²
דוגמה: מעגל ברדיוס 5: היקף = 10π ≈ 31.4, שטח = 25π ≈ 78.5.
נוסחה 17: משפט פיתגורס
במשולש ישר-זווית: a² + b² = c²
דוגמה: ניצבים 6 ו-8 → היתר = √(36+64) = √100 = 10. השלשה 6-8-10 (כפולה של 3-4-5) מופיעה לעיתים קרובות.
למעמיקים בנושא, מומלץ לעבור על מדור הגאומטריה המלא שבמערכת.
קטגוריה 6: חזקות ושורשים
נוסחה 18: חוקי חזקות
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ
דוגמה: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. ו-2⁻³ = 1/8.
קטגוריה 7: סדרות
נוסחה 19: סדרה חשבונית
אבר כללי: aₙ = a₁ + (n−1)·d
סכום n אברים: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2
דוגמה: בסדרה 3, 7, 11, 15... האבר ה-20 הוא 3 + 19·4 = 79, וסכום 20 האברים הראשונים = 20·(3+79)/2 = 820.
נוסחה 20: סדרה הנדסית
אבר כללי: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
דוגמה: בסדרה 2, 6, 18, 54... (q=3), האבר השישי הוא 2·3⁵ = 486.
סיכום
עשרים הנוסחאות הללו הן לא רשימת ידע — הן תשתית אוטומציה. מי שיודע אותן בעל-פה חוסך 30-40 שניות בכל שאלה, ובסך הכל 8-10 דקות בכל פרק כמותי. השקעה של חצי שעה ביום במשך שבועיים בהפנמת הנוסחאות הללו שווה לעלייה של 30-50 נקודות בציון הכמותי.